- 1. Llei de l’electricitat de Gauss
- 2. Llei del magnetisme de Gauss
- 3. Llei d’inducció de Faraday
- 4. Llei d’Ampere
Les equacions de Maxwell són els fonaments de la teoria electromagnètica, que constitueix un conjunt de quatre equacions que relacionen els camps elèctrics i magnètics. En lloc d’enumerar la representació matemàtica de les equacions de Maxwell, ens centrarem en quina és la importància real d’aquestes equacions en aquest article. La primera i segona equació de Maxwell tracta respectivament de camps elèctrics estàtics i camps magnètics estàtics. La tercera i quarta equació de Maxwell tracta sobre el canvi de camps magnètics i el canvi de camps elèctrics respectivament.
Les equacions de Maxwell són:
- Llei de Gauss de l'electricitat
- Llei de Gauss del magnetisme
- Llei d’inducció de Faraday
- Llei d’Ampere
1. Llei de l’electricitat de Gauss
Aquesta llei estableix que el flux elèctric d’una superfície tancada és proporcional a la càrrega total que inclou aquesta superfície. La llei de Gauss tracta del camp elèctric estàtic.
Considerem una càrrega puntual positiva P. Sabem que les línies de flux elèctric estan dirigides cap a l'exterior des de la càrrega positiva.
Considerem una superfície tancada amb la càrrega Q inclosa. El vector d'àrea sempre s'escull normal perquè representa l'orientació de la superfície. Sigui angle l’angle que fa el vector de camp elèctric amb el vector d’àrea.
El flux elèctric ψ és
La raó per triar el producte punt és que hem de calcular la quantitat de flux elèctric que travessa la superfície representada per un vector d'àrea normal.
Per la llei de coulombs, sabem que el camp elèctric (E) a causa d’una càrrega puntual és Q / 4πε 0 r 2.
Considerant una simetria esfèrica, la forma integral de la llei de Gauss és:
Per tant, el flux elèctric Ψ = Q tancat / ε 0
Aquí la Q inclosa representa la suma vectorial de totes les càrregues a la superfície. La regió que engloba la càrrega pot ser de qualsevol forma, però per aplicar la llei de Gauss, hem de seleccionar una superfície gaussiana que sigui simètrica i que tingui una distribució de càrrega uniforme. La superfície gaussiana pot ser cilíndrica o esfèrica o plana.
Per obtenir la seva forma diferencial, hem d’aplicar el teorema de la divergència.
L'equació anterior és la forma diferencial de la llei de Gauss o de l'equació I de Maxwell.
A l'equació anterior, ρ representa la densitat de càrrega del volum. Quan hem d'aplicar la llei de Gauss a una superfície amb una càrrega de línia o distribució de càrrega superficial, és més convenient representar l'equació amb densitat de càrrega.
Per tant, podem inferir que la divergència d’un camp elèctric sobre una superfície tancada dóna la quantitat de càrrega (ρ) que l’enclou. Aplicant la divergència a un camp vectorial, podem saber si la superfície tancada pel camp vectorial actua com a font o embornal.
Considerem un cuboide amb càrrega positiva tal com es mostra més amunt. Quan apliquem divergència al camp elèctric que surt de la caixa (cuboide), el resultat de l’expressió matemàtica ens indica que el quadre (cuboide) considerat actua com a font del camp elèctric calculat. Si el resultat és negatiu, ens indica que la caixa actua com un lavabo, és a dir, la caixa hi inclou una càrrega negativa. Si la divergència és zero, significa que no hi ha cap càrrega.
D’això, es podria deduir que existeixen monopols elèctrics.
2. Llei del magnetisme de Gauss
Sabem que la línia de flux magnètic flueix des del pol nord cap al pol sud cap a l'exterior.
Com que hi ha línies de flux magnètic a causa d’un imant permanent, hi haurà associada una densitat de flux magnètic (B). Quan apliquem el teorema de divergència a la superfície S1, S2, S3 o S4, veiem que el nombre de línies de flux que entren i surten de la superfície seleccionada continua sent el mateix. Per tant, el resultat del teorema de la divergència és zero. Fins i tot a la superfície S2 i S4, la divergència és nul·la, la qual cosa significa que ni el pol nord ni el pol sud actuen individualment com a fonts ni s’enfonsen com les càrregues elèctriques. Fins i tot quan apliquem divergència del camp magnètic (B) a causa d’un cable que transporta corrent, resulta que és zero.
La forma integral de la llei de Gauss del magnetisme és:
La forma diferencial de la llei de Gauss del magnetisme és:
D’això, es podria deduir que no existeixen monopols magnètics.
3. Llei d’inducció de Faraday
La llei de Faraday estableix que quan hi hagi un canvi en el flux magnètic (canviant pel que fa al temps) que uneix una bobina o qualsevol conductor, hi haurà una CEM induïda a la bobina. Lenz's va afirmar que el CEM induït estarà en una direcció tal que s'oposi al canvi de flux magnètic que el produeix.
A la il·lustració anterior, quan una placa conductora o un conductor es posa sota la influència d’un camp magnètic canviant, s’hi indueix corrent circulant. El corrent s’indueix en una direcció tal que el camp magnètic produït s’oposa al magnètic canviant que el va crear. A partir d’aquesta il·lustració, queda clar que canviar o variar el camp magnètic crea un camp elèctric en circulació.
Per la llei de Faraday, emf = - dϕ / dt
Ho sabem, ϕ = superfície tancada ʃ B. dS emf = - (d / dt) ʃ B. dS
Camp elèctric E = V / d
V = ʃ E.dl
Atès que el camp elèctric canvia respecte a la superfície (rínxol), existeix una diferència de potencial V.
Per tant, la forma integral de la quarta equació de Maxwell és,
En aplicar el teorema de Stoke,
La raó per aplicar el teorema de Stoke és que quan prenem un rínxol d’un camp en rotació sobre una superfície tancada, els components interns del rínxol del vector es cancel·len i això resulta en avaluar el camp vectorial al llarg del camí tancat.
Per tant, podem escriure això,
La forma diferencial de l’equació de Maxwell és
Per l'expressió anterior, és evident que un camp magnètic que canvia respecte al temps produeix un camp elèctric en circulació.
Nota: en electrostàtica, el rínxol d’un camp elèctric és zero perquè surt radialment cap a fora de la càrrega i no hi ha cap component giratori associat.
4. Llei d’Ampere
La llei d'Ampere estableix que quan un corrent elèctric flueix a través d'un cable, produeix un camp magnètic al seu voltant. Matemàticament, la integral de línia del camp magnètic al voltant d’un bucle tancat dóna el corrent total que aquest tanca.
ʃ B .dl = μ 0 I tancat
Atès que el camp magnètic s’enrotlla al voltant del fil, podem aplicar el teorema de Stoke a la llei d’Ampere.
Per tant l'equació es converteix
Podem representar el corrent tancat en termes de densitat de corrent J.
B = μ 0 H utilitzant aquesta relació, podem escriure l’expressió com
Quan apliquem divergència al bucle d’un camp vectorial rotatiu, el resultat és zero. Es deu al fet que la superfície tancada no actua com a font o enfonsament, és a dir, el nombre de flux que entra i surt de la superfície és el mateix. Això es pot representar matemàticament com,
Considerem un circuit tal com es mostra a continuació.
El circuit té un condensador connectat a ell. Quan apliquem divergències a la regió S1, el resultat mostra que és diferent de zero. En notació matemàtica,
Hi ha un flux de corrent al circuit, però al condensador, les càrregues es transfereixen a causa del canvi de camp elèctric a través de les plaques. Per tant, físicament el corrent no hi circula. Maxwell va encunyar aquest flux elèctric canviant com a corrent de desplaçament (J D). Però Maxwell va encunyar el terme Corrent de desplaçament (J D) tenint en compte la simetria de la llei de Faraday, és a dir, si un camp magnètic que canvia en el temps produeix un camp elèctric, per simetria, canviar el camp elèctric produeix un camp magnètic.
El rínxol d’intensitat del camp magnètic (H) a la regió S1 és
La forma integral de la quarta equació de Maxwell es pot expressar com:
La forma diferencial de la quarta equació de Maxwell és:
Totes aquestes quatre equacions, ja sigui en forma integral o diferencial, s’anomenen equació de Maxwell.