- Filtres analògics o digitals
- Filtres actius o passius
- Filtres basats en àudio o radiofreqüència
- Filtres basats en la selecció de freqüència
- Filtre Butterworth de primer ordre de primer ordre
- Filtre de pas baix Butterworth de segon ordre
- Derivació del filtre Butterworth de segon ordre de segon ordre -Aliter
Els filtres elèctrics tenen moltes aplicacions i s’utilitzen àmpliament en molts circuits de processament de senyals. S'utilitza per triar o eliminar senyals de freqüència seleccionada en un espectre complet d'una entrada determinada. Per tant, el filtre s’utilitza per permetre que els senyals de la freqüència escollida puguin passar per ell o eliminar els senyals de la freqüència escollida que hi passin.
Actualment, hi ha molts tipus de filtres disponibles i es diferencien de moltes maneres. I hem tractat molts filtres en tutorials anteriors, però la diferenciació més popular es basa en,
- Analògic o digital
- Actiu o passiu
- Àudio o radiofreqüència
- Selecció de freqüència
Filtres analògics o digitals
Sabem que els senyals generats per l’entorn són de naturalesa analògica, mentre que els senyals processats en circuits digitals són de naturalesa digital. Hem d’utilitzar els filtres corresponents per a senyals analògics i digitals per obtenir el resultat desitjat. Per tant, hem d’utilitzar filtres analògics mentre processem senyals analògics i utilitzar filtres digitals mentre processem senyals digitals.
Filtres actius o passius
Els filtres també es divideixen en funció dels components utilitzats durant el disseny dels filtres. Si el disseny del filtre es basa completament en components passius (com ara resistències, condensadors i inductors), el filtre s’anomena filtre passiu. D'altra banda, si utilitzem un component actiu (amplificador operatiu, font de tensió, font de corrent) durant el disseny d'un circuit, el filtre s'anomena filtre actiu.
Més popularment, tot i que es prefereix un filtre actiu sobre un passiu, ja que tenen molts avantatges. Alguns d’aquests avantatges s’esmenten a continuació:
- Cap problema de càrrega: sabem que en un circuit actiu fem servir un amplificador operatiu que té una impedància d’entrada molt baixa i una impedància de sortida baixa. En aquest cas, quan connectem un filtre actiu a un circuit, el corrent extret per amplificador operatiu serà molt insignificant, ja que té una impedància d’entrada molt alta i, per tant, el circuit no experimentarà cap càrrega quan el filtre estigui connectat.
- Flexibilitat d’ajust del guany: en els filtres passius, el guany o amplificació del senyal no és possible ja que no hi haurà components específics per dur a terme aquesta tasca. D'altra banda, en un filtre actiu, tenim amplificador operatiu que pot proporcionar un guany elevat o amplificació del senyal als senyals d'entrada.
- Flexibilitat d’ajust de freqüència: els filtres actius tenen una major flexibilitat a l’hora d’ajustar la freqüència de tall en comparació amb els filtres passius.
Filtres basats en àudio o radiofreqüència
Els components que s’utilitzen en el disseny del filtre canvien en funció de l’aplicació del filtre o del lloc on s’utilitzi la configuració. Per exemple, els filtres RC s’utilitzen per a aplicacions d’àudio o de baixa freqüència, mentre que els filtres LC s’utilitzen per a aplicacions de ràdio o d’alta freqüència.
Filtres basats en la selecció de freqüència
Els filtres també es divideixen en funció dels senyals passats pel filtre
Filtre de pas baix:
Tots els senyals superiors a les freqüències seleccionades s’atenuen. Són de dos tipus: filtre actiu de pas baix i filtre passiu de baix. A continuació es mostra la resposta en freqüència del filtre de pas baix. Aquí, el gràfic de punts és el gràfic ideal del filtre de pas baix i un gràfic net és la resposta real d’un circuit pràctic. Això va passar perquè una xarxa lineal no pot produir un senyal discontinu. Com es mostra a la figura després que els senyals assoleixin la freqüència de tall fH experimenten atenuació i després d’una certa freqüència més alta els senyals donats a l’entrada es bloquegen completament.
Filtre de pas alt:
Tots els senyals superiors a les freqüències seleccionades apareixen a la sortida i es bloqueja un senyal inferior a aquesta freqüència. Són de dos tipus: filtres passius actius i filtres passius passius. A continuació es mostra la resposta en freqüència d’un filtre de pas alt. Aquí, un gràfic de punts és el gràfic ideal del filtre de pas alt i un gràfic net és la resposta real d’un circuit pràctic. Això va passar perquè una xarxa lineal no pot produir un senyal discontinu. Com es mostra a la figura fins que els senyals tenen una freqüència superior a la freqüència de tall fL experimenten atenuació.
Filtre passabanda:
En aquest filtre, només es permeten que apareguin senyals del rang de freqüència seleccionat a la sortida, mentre que els senyals de qualsevol altra freqüència es bloquegen. A continuació es mostra la resposta en freqüència del filtre de pas de banda. Aquí, el gràfic de punts és el filtre de pas de banda ideal i un gràfic net és la resposta real d’un circuit pràctic. Com es mostra a la figura, es permet que els senyals del rang de freqüències de fL a fH passin pel filtre mentre que els senyals d'altres freqüències experimenten atenuació. Obteniu més informació sobre el filtre Pass Band aquí.
Filtre de rebuig de banda:
La funció de filtre de rebuig de banda és exactament el contrari del filtre de banda. Tots els senyals de freqüència que tinguin un valor de freqüència en l’interval de banda seleccionat proporcionats a l’entrada queden bloquejats pel filtre mentre es permet que apareguin senyals de qualsevol altra freqüència a la sortida.
Filtre de tots els passis:
Es permet que els senyals de qualsevol freqüència passin per aquest filtre tret que experimentin un canvi de fase.
Segons l’aplicació i el cost, el dissenyador pot triar el filtre adequat entre diversos tipus.
Però aquí podeu veure als gràfics de sortida els resultats desitjats i reals no són exactament els mateixos. Tot i que aquest error es permet en moltes aplicacions, de vegades necessitem un filtre més precís el gràfic de sortida tendeixi més cap al filtre ideal. Aquesta resposta gairebé ideal es pot aconseguir utilitzant tècniques de disseny especials, components de precisió i amplificadors operatius d’alta velocitat.
Butterworth, Caur i Chebyshev són alguns dels filtres més utilitzats que poden proporcionar una corba de resposta gairebé ideal. En ells, comentarem el filtre Butterworth aquí, ja que és el més popular dels tres.
Les principals característiques del filtre Butterworth són:
- És un filtre basat en RC (resistència, condensador) i amplificador operatiu (amplificador operacional)
- És un filtre actiu, de manera que es pot ajustar el guany si cal
- La característica clau de Butterworth és que té una banda de passada plana i una banda de parada plana. Aquesta és la raó per la qual se sol anomenar "filtre pla-pla".
Ara anem a discutir el model del circuit del filtre Butterworth Low Pass per a una millor comprensió.
Filtre Butterworth de primer ordre de primer ordre
La figura mostra el model de circuit del filtre de valor baix de mantega de primer ordre.
Al circuit tenim:
- Voltatge "Vin" com a senyal de tensió d'entrada de naturalesa analògica.
- La tensió 'Vo' és la tensió de sortida de l'amplificador operacional.
- Les resistències "RF" i "R1" són les resistències de retroalimentació negativa de l'amplificador operacional.
- Hi ha una única xarxa RC (marcada al quadrat vermell) present al circuit, de manera que el filtre és un filtre de pas baix de primer ordre
- "RL" és la resistència de càrrega connectada a la sortida d'amplificador operatiu.
Si fem servir la regla del divisor de tensió al punt "V1", podem obtenir la tensió a través del condensador com, V 1 = V en Aquí -jXc = 1 / 2ᴫfc
Després de substituir aquesta equació, tindrem una cosa semblant a la següent
V 1 = Vi n / (1 + j2ᴫfRC)
Ara l’ampli operatiu utilitzat en la configuració de retroalimentació negativa i, en aquest cas, l’equació de tensió de sortida es dóna com, V 0 = (1 + R F / R 1) V 1.
Aquesta és una fórmula estàndard i podeu consultar els circuits d'amplificadors operatius per obtenir més detalls.
Si presentem l'equació V1 a Vo, tindrem, V0 = (1 + R F / R 1)
Després de reescriure aquesta equació, podem tenir, V 0 / V in = A F / (1 + j (f / f L))
En aquesta equació,
- V 0 / V in = guany del filtre en funció de la freqüència
- AF = (1 + R F / R 1) = guany de banda passant del filtre
- f = freqüència del senyal d'entrada
- f L = 1 / 2ᴫRC = freqüència de tall del filtre. Podem utilitzar aquesta equació per triar els valors de resistència i condensador adequats per seleccionar la freqüència de tall del circuit.
Si convertim l’equació anterior en una forma polar tindrem,
Podem utilitzar aquesta equació per observar el canvi de magnitud del guany amb el canvi en la freqüència del senyal d’entrada.
Cas 1: f <
Per tant, quan la freqüència d’entrada és molt inferior a la freqüència de tall del filtre, la magnitud del guany és aproximadament igual al guany del bucle de l’amplificador operacional.
Case2: f = f L. Si la freqüència d'entrada és igual a la freqüència de tall del filtre,
Per tant, quan la freqüència d’entrada és igual a la freqüència de tall del filtre, la magnitud del guany és 0,707 vegades el guany del bucle de l’ampli operatiu.
Cas 3: f> f L. Si la freqüència d’entrada és superior a la freqüència de tall del filtre,
Com es pot veure pel patró, el guany del filtre serà el mateix que el guany d'amplificador operatiu fins que la freqüència del senyal d'entrada sigui inferior a la freqüència de tall. Però un cop la freqüència del senyal d'entrada arriba a la freqüència de tall, el guany disminueix marginalment, tal com es veu en el cas dos. I a mesura que la freqüència del senyal d’entrada augmenta encara més, el guany disminueix gradualment fins arribar a zero. Així doncs, el filtre Butterworth de pas baix permet que el senyal d’entrada aparegui a la sortida fins que la freqüència del senyal d’entrada sigui inferior a la freqüència de tall.
Si hem dibuixat el gràfic de resposta de freqüència per al circuit anterior tindrem,
Com es veu al gràfic, el guany serà lineal fins que la freqüència del senyal d’entrada creui el valor de la freqüència de tall i, una vegada que passi, el guany disminueix considerablement, igual que el valor de la tensió de sortida.
Filtre de pas baix Butterworth de segon ordre
La figura mostra el model de circuit del filtre de pas baix Butterworth de segon ordre.
Al circuit tenim:
- Voltatge "Vin" com a senyal de tensió d'entrada de naturalesa analògica.
- La tensió 'Vo' és la tensió de sortida de l'amplificador operacional.
- Les resistències "RF" i "R1" són les resistències de retroalimentació negativa de l'amplificador operacional.
- Hi ha una xarxa RC doble (marcada en un quadrat vermell) present al circuit, per tant el filtre és un filtre de pas baix de segon ordre.
- "RL" és la resistència de càrrega connectada a la sortida d'amplificador operatiu.
Derivació del filtre Butterworth de segon ordre de segon ordre
Els filtres de segon ordre són importants perquè els filtres d’ordre superior estan dissenyats amb ells. El guany del filtre de segon ordre està establert per R1 i RF, mentre que la freqüència de tall f H es determina pels valors R 2, R 3, C 2 i C 3. La derivació de la freqüència de tall es dóna de la següent manera, f H = 1 / 2ᴫ (R 2 R 3 C 2 C 3) 1/2
L'equació de guany de tensió d'aquest circuit també es pot trobar d'una manera similar a l'anterior i aquesta equació es dóna a continuació,
En aquesta equació,
- V 0 / V in = guany del filtre en funció de la freqüència
- A F = (1 + R F / R 1) guany de banda passant del filtre
- f = freqüència del senyal d'entrada
- f H = 1 / 2ᴫ (R 2 R 3 C 2 C 3) 1/2 = freqüència de tall del filtre. Podem utilitzar aquesta equació per triar els valors de resistència i condensador adequats per seleccionar la freqüència de tall del circuit. A més, si escollim la mateixa resistència i condensador a la xarxa RC, l'equació es convertirà en,
Podem l’equació de guany de tensió per observar el canvi de magnitud del guany amb el canvi corresponent en la freqüència del senyal d’entrada.
Cas 1: f <
Per tant, quan la freqüència d’entrada és molt inferior a la freqüència de tall del filtre, la magnitud del guany és aproximadament igual al guany del bucle de l’amplificador operacional.
Case2: f = f H. Si la freqüència d'entrada és igual a la freqüència de tall del filtre,
Per tant, quan la freqüència d’entrada és igual a la freqüència de tall del filtre, la magnitud del guany és 0,707 vegades el guany del bucle de l’ampli operatiu.
Cas 3: f> f H. Si la freqüència d’entrada és realment superior a la freqüència de tall del filtre,
De manera similar al filtre de primer ordre, el guany del filtre serà el mateix que el guany de l'amplificador operatiu fins que la freqüència del senyal d'entrada sigui inferior a la freqüència de tall. Però un cop la freqüència del senyal d'entrada arriba a la freqüència de tall, el guany disminueix marginalment, tal com es veu en el cas dos. I a mesura que la freqüència del senyal d’entrada augmenta encara més, el guany disminueix gradualment fins arribar a zero. Així doncs, el filtre Butterworth de pas baix permet que el senyal d’entrada aparegui a la sortida fins que la freqüència del senyal d’entrada sigui inferior a la freqüència de tall.
Si dibuixem el gràfic de resposta de freqüència per al circuit anterior tindrem,
Ara us podeu preguntar quina diferència hi ha entre el filtre de primer ordre i el filtre de segon ordre ? La resposta es troba al gràfic, si observeu detingudament, després que la freqüència del senyal d’entrada creixi la freqüència de tall, el gràfic obté un fort declivi i aquesta caiguda és més evident en el segon ordre en comparació amb el primer ordre. Amb aquesta forta inclinació, el filtre Butterworth de segon ordre serà més inclinat cap al gràfic del filtre ideal en comparació amb un filtre Butterworth d’un sol ordre.
Això és el mateix per al filtre de pas baix Butterworth de tercer ordre, el filtre de pas baix Butterworth per ordre anterior, etc. Com més alt sigui l'ordre del filtre, més s'inclina el gràfic de guany a un gràfic de filtre ideal. Si dibuixem el gràfic de guanys per a filtres Butterworth d’ordre superior tindrem alguna cosa així,
Al gràfic, la corba verda representa la corba del filtre ideal i es pot veure com l'ordre del filtre Butterworth augmenta el seu gràfic de guany que s'inclina més cap a la corba ideal. Per tant, com més alt sigui l’ordre del filtre Butterworth, més ideal serà la corba de guanys. Dit això, no es pot triar fàcilment un filtre d’ordre superior, ja que la precisió del filtre disminueix amb l’augment de l’ordre. Per tant, és millor triar l’ordre d’un filtre mantenint la precisió necessària.
Derivació del filtre Butterworth de segon ordre de segon ordre -Aliter
Després de la publicació de l'article, vam rebre un correu de Keith Vogel, que és un enginyer elèctric retirat. Havia notat un error àmpliament publicitat en la descripció d'un filtre de pas baix de 2n ordre i va oferir la seva explicació per corregir-ho, que és la següent.
Deixeu-me també encertar-ho:
I, a continuació, digueu que la freqüència de tall de -6db es descriu mitjançant l'equació:
f c = 1 / (
Tanmateix, això simplement no és cert. Fem que em creguis. Fem un circuit on R1 = R2 = 160 i C1 = C2 = 100nF (0.1uF). Donada l’equació, hauríem de tenir una freqüència de -6db de:
f c = 1 / (
Seguim i simulem el circuit i veiem on és el punt -6db:
Ah, simula a 6,33 kHz NO a 9,947 kHz; però la simulació NO ÉS MAL.
Per a la vostra informació, he utilitzat -6.0206db en lloc de -6db perquè 20log (0.5) = -6.0205999132796239042747778944899, -6.0206 és un nombre una mica més proper que -6 i, per obtenir una freqüència simulada més precisa a les nostres equacions, volia utilitzar una cosa una mica més a prop que només -6db. Si realment volgués assolir la freqüència descrita per l’equació, hauria d’emmagatzemar-se entre la primera i la segona etapa del filtre. Un circuit més precís a la nostra equació seria:
I aquí veiem que el nostre punt de -6.0206db simula a 9.945 kHz, molt més a prop dels 9.947 kHz calculats. Amb sort, em creieu que hi ha un error. Ara parlem de com es va produir l’error i de per què això és una mala enginyeria.
La majoria de les descripcions començaran amb un 1 st filtre de pas sota comanda, amb la impedància de la següent manera.
I obtindreu una simple funció de transferència de:
H (s) = (1 / sC) / (R + 1 / sC) = 1 / (sRC + 1)
A continuació, diuen que si acabeu de reunir-ne 2 per crear un filtre de 2n ordre, obtindreu:
H (s) = H 1 (s) * H 2 (s).
On H 1 (s) = H 2 (s) = 1 / (sRC + 1)
Quan es calcula, resultarà l’equació fc = 1 / (2π√R1C1R2C2). Aquí hi ha l’error, la resposta de H 1 (s) NO és independent de H 2 (s) al circuit, no es pot dir H 1 (s) = H 2 (s) = 1 / (sRC + 1).
La impedància de H 2 (s) afecta la resposta de H 1 (s). Per tant, aquest circuit funciona perquè l'opamp aïlla H 2 (s) de H 1 (s).
Així que ara analitzaré el següent circuit. Penseu en el nostre circuit original:
Per simplicitat, faré R1 = R2 i C1 = C2, en cas contrari, les matemàtiques s’involucren realment. Però hauríem de ser capaços de derivar la funció de transferència real i comparar-la amb les nostres simulacions per validar-les quan hàgim acabat.
Si diem, Z 1 = 1 / sC en paral·lel amb (R + 1 / sC), podem redibuixar el circuit com:
Sabem que V 1 / V in = Z 1 / (R + Z 1); On Z 1 pot ser una impedància complexa. I si tornem al nostre circuit original, podem veure Z 1 = 1 / sC en paral·lel amb (R + 1 / sC)
També podem veure que Vo / V 1 = 1 / (sRC + 1), que és H 2 (s). Però H 1 (s) és molt més complex, és Z 1 / (R + Z 1) on Z 1 = 1 / sC - (R + 1 / sC); i NO és 1 / (sRC + 1)!
De manera que ara deixem a punt les matemàtiques del nostre circuit; per al cas especial de R1 = R2 i C1 = C2.
Tenim:
V 1 / V in = Z 1 / (R + Z 1) Z 1 = 1 / sC - (R + 1 / sC) = (sRC + 1) / ((sC) 2 R + 2sC) Vo / V 1 = 1 / (sRC + 1)
I finalment
Vo / V a = * = * = * = * = *
Aquí podem veure que:
H 1 (s) = (sRC + 1) / ((sCR) 2 + 3sRC + 1)…
no 1 / (sRC + 1) H 2 (s) = 1 / (sRC + 1)
I..
Vo / V in = H 1 (s) * H 2 (s) = * = 1 / ((sRC) 2 + 3sRC + 1)
Sabem que el punt -6db és (
I sabem que quan la magnitud de la nostra funció de transferència és de 0,5, estem a la freqüència de -6db.
Així que solucionem això:
-Vo / V a - = -1 / ((sRC) 2 + 3sRC + 1) - = 0,5
Sigui s = jꙍ, tenim:
-1 / ((sRC) 2 + 3sRC + 1) - = 0,5 -1 / ((jꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1) - = 0,5 - ((jꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1) - = 2 - (- ꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1) - = 2 - ((1- (ꙍRC) 2) + 3jꙍRC- = 2
Per trobar la magnitud, pren l’arrel quadrada del quadrat dels termes reals i imaginaris.
sqrt ((((1- (ꙍRC) 2) 2 + (3ꙍRC) 2) = 2
quadrant els dos costats:
((1- (ꙍRC) 2) 2 + (3ꙍRC) 2 = 4
En expansió:
1 - 2 (ꙍRC) 2 + (ꙍRC) 4 + 9 (ꙍRC) 2 = 4
1 + 7 (ꙍRC) 2 + (ꙍRC) 4 = 4
(ꙍRC) 4 + 7 (ꙍRC) 2 + 1 = 4
(ꙍRC) 4 + 7 (ꙍRC) 2 - 3 = 0
Sigui x = (ꙍRC) 2
(x) 2 + 7x - 3 = 0
Utilitzant l’equació de segon grau per resoldre x
x = (-7 +/- sqrt (49 - 4 * 1 * (- 3)) / 2 = (-7 +/- sqrt (49 +12) / 2 = (-7 +/-
.. l'única resposta real és el +
Recordeu
x = (ꙍRC) 2
substituint x
(ꙍRC) 2 = (
Substitució de ꙍ per 2
2
f c = (
Lleig, potser no em creieu, així que seguiu llegint… Per al circuit original que us vaig donar:
f c = (
Si tornem a la nostra simulació original per a aquest circuit, vam veure la freqüència de -6db a ~ 6.331kHz, que coincideix exactament amb els nostres càlculs.
Simuleu-ho per a altres valors; veureu que l'equació és correcta.
Podem veure que quan amortidor entre els 2 gen st filtres de pas sota comanda podem utilitzar l'equació
f c = 1 / (
I si R1 = R2 i C1 = C2 podem utilitzar l’equació:
f c = 1 /
Però si no amortidor entre els 2 gen st fi filtra la nostra equació (donada R1 = R2, C1 = C2) es converteix en:
f c = (
f c ~ 0,6365 / 2
Advertència, no intenteu dir:
f c = 0,6365 / (
Recordeu, H 2 (s) efectes H 1 (s); però no al revés, els filtres no són simètrics, així que no feu aquesta suposició.
Per tant, si us quedareu amb la vostra equació actual, us recomanaria un circuit que sigui més semblant a aquest:
